On en déduit que k k∞ n’est pas une norme euclidienne. † Identité du parallélogramme : kx¯yk2 ¯kx¡yk2 ˘2(kxk2 ¯kyk2) Proposition 3 Soient x,y 2E, on a : ˙x,y ¨˘ 1 4 (kx¯yk2 ¡kx¡yk2). Espaces préhilbertiens, euclidiens et hermitiens, théorème de Pythagore, inégalité de Cauchy-Schwarz et de Minkowski, norme euclidienne, identité du parallélogramme comme caractérisation des normes issues d'un produit scalaire, familles orthogonales et orthonormées, bases orthonormées. Espaces vectoriels euclidiens - A retenir - Unisciel inégalités normes produit scalaire — Les-mathematiques.net Soit x,y deux vecteurs de l’espace euclidien R3.Montrer la formule kxk2kyk2 = Aire(x,y)2 +hx,yi2 où Aire(x,y) est l’aire du parallélogramme de côtés x,y.On considère les vecteurs de R3 donnés par x = (1,1,1) et y = (1,−1,0).Calculer l’aire du parallélogramme de côtés x,y. Une norme sur E est une application N : E ! Orthogonalité . Tout espace affine dont l'espace vectoriel associé est muni d'une norme hérite de ce fait d'une distance. Il y a égalité si et seulement si et sont colinéaires. 3. Norme subordonnée, norme euclidienne sur LLLL(E). Espaces euclidiens. b. Justifier que la norme 2 ⋅ est euclidienne puis montrer que pour 2,p ≠ la norme C:/Documents and Settings/Administrateur/Mes documents ç L’identité du parallélogramme traduit le fait que, dans un parallélogramme, la somme des carrés des lon-gueurs des deux diagonales est égale à la somme des carrés des longueurs des quatre côtés. b. k k2 est la norme associée au produit scalaire canonique <.,.>et est donc une norme euclidienne. Chapitre 25 : Produit scalaire et espaces euclidiens La translation de vecteur nul est l’identité. •dans R3: [u~,v~,w~] est le volume algébrique du parallélépipède engendré par les vecteurs u~, v~et w~. , on pose : . † On développe par bilinéarité Dans toute la suite du cours, E sera supposé euclidien. Plan du cours - sdemoor.fr Si la norme k:k1 est euclidienne, alors elle doit vérifier l’identité du parallélogramme, en particulier pour x = e1 et y = e2, on a kxk1 = kyk1 = kx+yk1 = kx+yk1 = 1, on obtient 12 +12 = 2(12 +12) ce qui est faux, donc la norme k:kp n’est pas euclidienne.
